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Physics-informed machine learning
一篇综述性的论文

PDEs四种

$$ \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\sigma(x,t)\dot{W}(x,t) $$ $$ \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\sigma(x,t)\dot{W}(x,t) $$

将生成的文字中导入到GPT中用下面的话术进行修改:

将上面文字进行下面处理：
1，公式前的\(替换为$$，公式后的\)也替换为$$
2，将$$前面的空格去掉，且将公式前后的$$都放在一行
3，且将公式的前一行和后一行都改为空行
4，公式后面空一行的接下来一行文字顶格，不空字符
5，所有内容都放到markdown格式中

注意公式后面解释性的符号，那么就要将这些文字全部放到两个 $$ 之间，这样才会正常显示符号。
同时后面要空一行，后面第一行不能留空格(不然容易出现格式错误)

范例如下

- **整数阶偏微分方程（integer - order PDEs）**
    - **定义**：含有未知函数关于多个自变量的整数阶偏导数的方程。例如：

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$$

$$其中\(u = u(x,t)\)是关于空间变量\(x\)和时间变量\(t\)的函数，方程中出现的偏导数\(\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}\)和\(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\)都是二阶偏导数，阶数为整数。$$
    - **应用**：在物理、工程等众多领域有广泛应用。例如，热传导方程用于描述热量在介质中的传导过程；泊松方程在静电学中用于求解电势分布。

下面就是处理得很好的例子，以后可以按照这个来

1. 各类方程介绍

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$$

$$其中(u = u(x,t))是关于空间变量(x)和时间变量(t)的函数，方程中出现的偏导数(\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}})和(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}})都是二阶偏导数，阶数为整数。$$

$$y^{\prime}(t)=a(t)y(t)+\int_{0}^{t}k(t - s)y(s)ds + f(t)$$

$$其中(y(t))是未知函数，方程左边是导数项，右边既有函数本身与系数(a(t))的乘积项，又有积分项(\int_{0}^{t}k(t - s)y(s)ds)，(k(t - s))称为核函数，(f(t))是已知函数。$$

$$\frac{\partial^{\alpha}u}{\partial t^{\alpha}}=D\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$$

$$其中(\alpha)为分数阶数((0 < \alpha\leqslant1))，(\frac{\partial^{\alpha}u}{\partial t^{\alpha}})表示对时间(t)的(\alpha)阶分数阶导数。分数阶导数的定义有多种，如Riemann - Liouville定义、Caputo定义等。$$

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\sigma(x,t)\dot{W}(x,t)$$

$$其中(\sigma(x,t))是噪声强度函数，(\dot{W}(x,t))是时空白噪声，它是布朗运动的形式导数。该方程表明热传导过程受到随机噪声的影响。$$

2. 关系与区别