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一篇综述性的论文
PDEs四种
- 公式编辑需要采用 LaTex的格式
- 公式两边需要加上 $$ $$
- 公式前后需要空出一行来
- 公式前面不能有空格
$$ \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\sigma(x,t)\dot{W}(x,t) $$ $$ \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\sigma(x,t)\dot{W}(x,t) $$
将生成的文字中导入到GPT中用下面的话术进行修改:
将上面文字进行下面处理:
1,公式前的\(替换为$$,公式后的\)也替换为$$
2,将$$前面的空格去掉,且将公式前后的$$都放在一行
3,且将公式的前一行和后一行都改为空行
4,公式后面空一行的接下来一行文字顶格,不空字符
5,所有内容都放到markdown格式中
注意公式后面解释性的符号,那么就要将这些文字全部放到两个 $$ 之间,这样才会正常显示符号。
同时后面要空一行,后面第一行不能留空格(不然容易出现格式错误)
范例如下
- **整数阶偏微分方程(integer - order PDEs)**
- **定义**:含有未知函数关于多个自变量的整数阶偏导数的方程。例如:
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$$
$$其中\(u = u(x,t)\)是关于空间变量\(x\)和时间变量\(t\)的函数,方程中出现的偏导数\(\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}\)和\(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\)都是二阶偏导数,阶数为整数。$$
- **应用**:在物理、工程等众多领域有广泛应用。例如,热传导方程用于描述热量在介质中的传导过程;泊松方程在静电学中用于求解电势分布。
下面就是处理得很好的例子,以后可以按照这个来
1. 各类方程介绍
- 整数阶偏微分方程(integer - order PDEs)
- 定义:含有未知函数关于多个自变量的整数阶偏导数的方程。例如:
$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$$
$$其中(u = u(x,t))是关于空间变量(x)和时间变量(t)的函数,方程中出现的偏导数(\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}})和(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}})都是二阶偏导数,阶数为整数。$$
- 应用:在物理、工程等众多领域有广泛应用。例如,热传导方程用于描述热量在介质中的传导过程;泊松方程在静电学中用于求解电势分布。
- 积分 - 微分方程(integro - differential equations)
- 定义:既包含未知函数的导数项,又包含未知函数的积分项的方程。例如:
$$y^{\prime}(t)=a(t)y(t)+\int_{0}^{t}k(t - s)y(s)ds + f(t)$$
$$其中(y(t))是未知函数,方程左边是导数项,右边既有函数本身与系数(a(t))的乘积项,又有积分项(\int_{0}^{t}k(t - s)y(s)ds),(k(t - s))称为核函数,(f(t))是已知函数。$$
- 应用:在人口动力学、粘弹性力学等领域应用较多。例如,在人口模型中,考虑人口增长不仅与当前人口数量及其增长率有关,还可能与过去的人口分布情况相关,此时就可能用到积分 - 微分方程来描述。
- 分数阶偏微分方程(fractional PDEs)
- 定义:含有未知函数关于自变量的分数阶偏导数的方程。例如:
$$\frac{\partial^{\alpha}u}{\partial t^{\alpha}}=D\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$$
$$其中(\alpha)为分数阶数((0 < \alpha\leqslant1)),(\frac{\partial^{\alpha}u}{\partial t^{\alpha}})表示对时间(t)的(\alpha)阶分数阶导数。分数阶导数的定义有多种,如Riemann - Liouville定义、Caputo定义等。$$
- 应用:在反常扩散、复杂介质中的传热传质、生物医学工程等领域有重要应用。例如,在研究多孔介质中流体的反常扩散现象时,分数阶偏微分方程能更准确地描述其扩散行为,因为传统整数阶方程无法很好地刻画这种具有记忆和非局部特性的扩散过程。
- 随机偏微分方程(stochastic PDEs)
- 定义:方程中含有随机项,未知函数不仅依赖于空间和时间变量,还与随机因素相关。例如:
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\sigma(x,t)\dot{W}(x,t)$$
$$其中(\sigma(x,t))是噪声强度函数,(\dot{W}(x,t))是时空白噪声,它是布朗运动的形式导数。该方程表明热传导过程受到随机噪声的影响。$$
- 应用:在金融数学、气候建模、生物系统中的随机现象等领域有广泛应用。例如,在金融市场中,资产价格的波动受到许多不确定因素的影响,随机偏微分方程可以用来描述资产价格随时间和空间(如不同市场区域)的变化规律。
2. 关系与区别
- 关系
- 理论基础关联:这几类方程都属于微分方程的广义范畴,它们的研究都基于微积分理论。整数阶偏微分方程是较为基础的一类,其他几类方程在一定程度上是对其的拓展和延伸。例如,分数阶偏微分方程可看作是整数阶偏微分方程在导数阶数概念上的推广;积分 - 微分方程可视为整数阶偏微分方程与积分运算相结合的产物;随机偏微分方程则是在整数阶偏微分方程的基础上引入随机因素。
- 求解方法借鉴:在求解方法上存在相互借鉴。例如,对于整数阶偏微分方程的一些经典求解方法,如分离变量法、有限差分法、有限元法等,经过适当改进后可应用于求解分数阶偏微分方程和随机偏微分方程。积分 - 微分方程的求解有时也会用到类似偏微分方程的离散化思想。
- 区别
- 导数阶数:整数阶偏微分方程只涉及整数阶导数,而分数阶偏微分方程的核心特征是含有分数阶导数,这使得分数阶偏微分方程具有非局部性和记忆性,与整数阶偏微分方程的局部性有本质区别。例如,整数阶热传导方程描述的热传播是基于当前位置及其邻域的局部信息,而分数阶热传导方程能考虑到更广泛的历史和空间信息。
- 方程结构:积分 - 微分方程除了导数项还包含积分项,这使其结构与单纯的偏微分方程不同。积分项的存在使得方程对未知函数的刻画不仅依赖于当前状态及其导数,还依赖于其在某个区间上的历史状态。例如,在描述具有记忆效应的材料力学行为时,积分 - 微分方程可以通过积分项体现材料对过去受力状态的“记忆”。而随机偏微分方程的独特之处在于引入了随机项,这使得方程的解不再是确定性的函数,而是随机过程,其解的性质需要用概率论和随机分析的方法来研究。
- 应用场景:整数阶偏微分方程适用于描述具有局部性、瞬时性且确定性的物理过程,如经典的波动、热传导等现象。分数阶偏微分方程更适合描述具有反常扩散、记忆性和非局部性的复杂过程,如多孔介质中的流体流动、复杂生物组织中的物质传输等。积分 - 微分方程常用于描述与历史状态相关的过程,如种群数量受过去环境影响的动态变化。随机偏微分方程则用于处理存在随机因素干扰的现象,如金融市场中的价格波动、大气湍流中的随机温度分布等。