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Physics-informed machine learning
一篇综述性的论文

PDEs四种

$$ \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\sigma(x,t)\dot{W}(x,t) $$ $$ \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\sigma(x,t)\dot{W}(x,t) $$

将生成的文字中导入到GPT中用下面的话术进行修改:

将上面文字进行下面处理:
1,公式前的\(替换为$$,公式后的\)也替换为$$
2,将$$前面的空格去掉,且将公式前后的$$都放在一行
3,且将公式的前一行和后一行都改为空行
4,公式后面空一行的接下来一行文字顶格,不空字符
5,所有内容都放到markdown格式中

注意公式后面解释性的符号,那么就要将这些文字全部放到两个 $$ 之间,这样才会正常显示符号。
同时后面要空一行,后面第一行不能留空格(不然容易出现格式错误)

范例如下

- **整数阶偏微分方程integer - order PDEs**
    - **定义**含有未知函数关于多个自变量的整数阶偏导数的方程例如:

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$$

$$其中\(u = u(x,t)\)是关于空间变量\(x\)和时间变量\(t\)的函数方程中出现的偏导数\(\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}\)\(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\)都是二阶偏导数阶数为整数。$$
    - **应用**在物理工程等众多领域有广泛应用例如热传导方程用于描述热量在介质中的传导过程泊松方程在静电学中用于求解电势分布

下面就是处理得很好的例子,以后可以按照这个来

1. 各类方程介绍

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$$

$$其中(u = u(x,t))是关于空间变量(x)和时间变量(t)的函数,方程中出现的偏导数(\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}})和(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}})都是二阶偏导数,阶数为整数。$$

$$y^{\prime}(t)=a(t)y(t)+\int_{0}^{t}k(t - s)y(s)ds + f(t)$$

$$其中(y(t))是未知函数,方程左边是导数项,右边既有函数本身与系数(a(t))的乘积项,又有积分项(\int_{0}^{t}k(t - s)y(s)ds),(k(t - s))称为核函数,(f(t))是已知函数。$$

$$\frac{\partial^{\alpha}u}{\partial t^{\alpha}}=D\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$$

$$其中(\alpha)为分数阶数((0 < \alpha\leqslant1)),(\frac{\partial^{\alpha}u}{\partial t^{\alpha}})表示对时间(t)的(\alpha)阶分数阶导数。分数阶导数的定义有多种,如Riemann - Liouville定义、Caputo定义等。$$

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\sigma(x,t)\dot{W}(x,t)$$

$$其中(\sigma(x,t))是噪声强度函数,(\dot{W}(x,t))是时空白噪声,它是布朗运动的形式导数。该方程表明热传导过程受到随机噪声的影响。$$

2. 关系与区别